2025-2026学年下学期期中

2025-2026学年下学期期中试卷

根据试卷照片整理。考试类型以照片页眉“期中试卷”为准；卷别未注明。照片中的手写作答未作为参考答案收录。第七、八题右端少量文字被裁切，已结合上下文补全并经维护者确认。

设函数 $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$ （ $(x,y)\ne(0,0)$ ）， $f(0,0)=0$ ，则（）。

A. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续且偏导数存在

B. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续但偏导数存在

C. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续但偏导数不存在

D. $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续且偏导数不存在
方程 $x^2+2y^2-z^2=1$ 在空间直角坐标系中表示的曲面是（）。

A. 单叶双曲面

B. 双叶双曲面

C. 椭圆柱面

D. 椭圆抛物面
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 均存在，是 $f(x,y)$ 在该点可微的（）。

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分又非必要条件
设 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq1\}$ ， $I_1=\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,d\sigma$ ， $I_2=\displaystyle\iint_D\sin(x^2+y^2)\,d\sigma$ ，则（）。

A. $I_1>I_2$

B. $I_1<I_2$

C. $I_1=I_2$

D. 无法比较
函数 $u=x^2+2y^2+3z^2$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿方向 $(1,1,1)$ 的方向导数为（）。

A. $4\sqrt3$

B. $6\sqrt3$

C. $8\sqrt3$

D. $12$

$yOz$ 坐标面上的直线 $y=z$ 绕 $z$ 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 $\underline{\qquad}$ 。
设 $z=x^2y+xy^3$ ，则 $\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\underline{\qquad}$ 。
设方程 $x^2+y^2+z^2-2z=0$ 确定隐函数 $z=z(x,y)$ ，则 $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}=\underline{\qquad}$ 。
将二重积分 $\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy$ （ $D:x^2+y^2\leq2x,\ y\geq0$ ）化为极坐标下的累次积分为 $\underline{\qquad}$ 。
设 $\Omega:x^2+y^2+z^2\leq z$ ，用球坐标将三重积分 $\displaystyle\iiint_\Omega\sqrt{x^2+y^2+z^2}\,dV$ 化为累次积分，为 $\underline{\qquad}$ 。

（5 分）设 $z=f(x^2-y^2,e^{xy})$ ，其中 $f$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2}$ 。
（5 分）设方程 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$ 确定隐函数 $z=z(x,y)$ ，求 $dz\big|_{(0,0)}$ 。

（5 分）交换累次积分的积分次序：
$I=\int_0^1dy\int_y^{\sqrt y}\sin(x^3)\,dx,$
并化为可计算的形式。
（5 分）计算 $I=\displaystyle\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy$ ，其中 $D$ 由圆 $x^2+y^2=2x$ 和 $x^2+y^2=4x$ 围成。

计算三重积分 $\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,dV$ ，其中 $\Omega$ 由上半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 与锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成。

求函数 $u=xyz$ 在约束条件

\frac1x+\frac1y+\frac1z=\frac1a\qquad(x>0,y>0,z>0,a>0)

下的最小值，说明该最小值的几何意义。

设函数 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ ，证明： $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续且偏导数存在，但在 $(0,0)$ 处不可微。